Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Fatore $x {(x + 3)}^{4}$ de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1.1

Fatore $x {(x + 3)}^{4}$ de $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Etapa 1.1.1.4.1.2

Fatore $x {(x + 3)}^{4}$ de $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Etapa 1.1.1.4.1.3

Fatore $x {(x + 3)}^{4}$ de $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.1.4.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Etapa 1.1.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Etapa 1.1.2.1.2

Some $5 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ e $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.6.1

Some $7$ e $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.3.6.2

Mova $7$ para a esquerda de $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.4.1

Some $1$ e $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6.4.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.6.6

Multiplique ${(x + 3)}^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2

Simplifique $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Expanda $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Etapa 1.2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.3.1.1

Mova $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Multiplique $7$ por $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.1.3.4

Multiplique $4$ por $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.2.2

Some $7 x {(x + 3)}^{4}$ e $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.3.1.2

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.3.1.3

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Etapa 1.2.3.1.4

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.5

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.6

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.1.7

Fatore $2 {(x + 3)}^{3}$ de $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $7 x$ de $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Fatore $7 x$ de $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Fatore $7 x$ de $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.3

Some $x$ e $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1

Fatore $3$ de $3 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.4.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.4.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.5

Multiplique $3$ por $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.6

Fatore $3$ de $12 x + 3 (x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Fatore $3$ de $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.6.2

Fatore $3$ de $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.7

Some $4 x$ e $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.8

Fatore $3$ de $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.8.1

Fatore $3$ de $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.8.2

Fatore $3$ de $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.9

Aplique a propriedade distributiva.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.10

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.10.1

Mova $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.10.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.11

Multiplique $7$ por $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.12

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.12.1

Some $7 x$ e $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.12.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.3.13

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina ${(x + 3)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina ${(x + 3)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva ${(x + 3)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

Defina $7 x^{2} + 12 x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $7 x^{2} + 12 x + 3$ como igual a $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Resolva $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.6.2.2

Substitua os valores $a = 7$ , $b = 12$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.3

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Etapa 1.2.6.2.3.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.3

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Etapa 1.2.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4.5

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Etapa 1.2.6.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.3

Subtraia $84$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.4

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Etapa 1.2.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Etapa 1.2.6.2.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5.5

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Etapa 1.2.6.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 3)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $7$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.2

Some $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 42$ por $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $7$ por $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.6

Some $- 42$ e $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.7.1

Some $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7.3

Multiplique $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.7.3.1

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7.3.2

Multiplique $- 6$ por $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7.4

Some $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Etapa 4.2.1.7.5

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Etapa 4.2.1.8

Some $648$ e $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Etapa 4.2.1.9

Multiplique $- 36$ por $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Etapa 4.2.2

Subtraia $26244$ de $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 29646$ .

$- 29646$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 3)$ porque $f'' (- 6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 14$ por $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.6

Some $- 14$ e $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.7.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.7.3

Multiplique $- 2 (4 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.7.3.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.7.3.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Etapa 5.2.1.7.4

Some $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Etapa 5.2.1.7.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Etapa 5.2.1.8

Some $- 8$ e $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $- 8$ por $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Etapa 5.2.2

Some $- 14$ e $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $42$ .

$42$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.6

Some $- 7$ e $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Some $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.7.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.7.3

Multiplique $- 1 (4 \cdot 8)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.3.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.7.3.2

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Etapa 6.2.1.7.4

Some $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Etapa 6.2.1.7.5

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Etapa 6.2.1.8

Some $- 32$ e $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Etapa 6.2.2

Some $- 112$ e $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ porque $f'' (- 1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.2

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $0$ por $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $7$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.6

Some $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.1

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.7.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.7.3

Multiplique $0 (4 \cdot 27)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.7.3.1

Multiplique $4$ por $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.7.3.2

Multiplique $0$ por $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Etapa 7.2.1.7.4

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Etapa 7.2.1.7.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Etapa 7.2.1.8

Some $0$ e $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $6$ por $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $486$ .

$f'' (0) = 486$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $486$ .

$486$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 3)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9