Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 6 + e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.6.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6.2.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6.2.2

Combine os termos opostos em $6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.6.2.2.1

Subtraia $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{x} + 0}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6.2.2.2

Some $6 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 6 + e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + e^{x}$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9

Some $x$ e $x$ .

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10

Fatore $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1

Fatore $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.2

Fatore $6 + e^{x}$ de $- 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3

Fatore $6 + e^{x}$ de $(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Fatore $6 + e^{x}$ de ${(6 + e^{x})}^{4}$ .

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$6 \frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12

Combine $6$ e $\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (6 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{x + x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.3.1.2.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} - 12 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.3.2

Subtraia $12 e^{2 x}$ de $6 e^{2 x}$ .

$\frac{36 e^{x} - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.4.1

Fatore $6$ de $36 e^{x} - 6 e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.4.1.1

Fatore $6$ de $36 e^{x}$ .

$\frac{6 (6 e^{x}) - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.1.2

Fatore $6$ de $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.1.3

Fatore $6$ de $6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})$ .

$\frac{6 (6 e^{x} - e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.2

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{6 (6 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.3

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$\frac{6 (6 u - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.4

Fatore $u$ de $6 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.13.4.4.1

Fatore $u$ de $6 u$ .

$\frac{6 (u \cdot 6 - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.4.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$\frac{6 (u \cdot 6 + u (- u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.4.3

Fatore $u$ de $u \cdot 6 + u (- u)$ .

$\frac{6 (u (6 - u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.2.13.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Etapa 2.2.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.2.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.3.3

Defina $6 - e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Defina $6 - e^{x}$ como igual a $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Etapa 2.2.3.3.2

Resolva $6 - e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- e^{x} = - 6$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Divida cada termo em $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- e^{x} = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.2.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.3.1

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Etapa 2.2.3.3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Etapa 2.2.3.3.2.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Etapa 2.2.3.3.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Etapa 2.2.3.3.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (6)$

Etapa 2.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ verdadeiro.

$x = \ln (6)$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$6 + e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$e^{x} = - 6$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 6)$

Etapa 3.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 6)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.2.4

Não há uma solução para $e^{x} = - 6$

Nenhuma solução

Etapa 3.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \ln (6)) \cup (\ln (6), \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \ln (6))$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - e^{0})}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1 \cdot 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $1$ de $6$ .

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} \cdot 5}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (0) = \frac{30 e^{0}}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $6$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{7^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{343}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $30$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{30}{343}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{30}{343}$ .

$\frac{30}{343}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \ln (6))$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \ln (6))$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\ln (6), \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Etapa 6.2

A resposta final é $\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$ .

$\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\ln (6), \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\ln (6), \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \ln (6))$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\ln (6), \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8