Cálculo Exemplos

$y = x + \cos (2 x)$

Etapa 1

Escreva $y = x + \cos (2 x)$ como uma função.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Etapa 2.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Etapa 2.2.3

Subtraia $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $- 4 \cos (2 x) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (2 x) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 3.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 3.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.7

Resolva $x$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique.

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Etapa 3.7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.7.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 3.7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.7.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.7.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.8

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 3.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.9

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{π}{4}$ em $f (x) = x + \cos (2 x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 4.1.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{4}$ em $f (x) = x + \cos (2 x)$ é $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.68539816$ na expressão.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Etapa 6.3

Em $0.68539816$ , a segunda derivada é $- 0.79467732$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{4})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.88539816$ na expressão.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Etapa 7.3

Em $0.88539816$ , a segunda derivada é $0.79467732$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π}{4}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Etapa 9