Cálculo Exemplos

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Etapa 1

Escreva $y = x^{5} + x^{3} - 2$ como uma função.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + x^{3} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.5

Some $5 x^{4} + 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Etapa 3.2

Fatore $2 x$ de $20 x^{3} + 6 x$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $2 x$ de $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $2 x$ de $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $10 x^{2} + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $10 x^{2} + 3$ como igual a $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $10 x^{2} + 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$10 x^{2} = - 3$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $10 x^{2} = - 3$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $10 x^{2} = - 3$ por $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Etapa 3.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

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Etapa 3.5.2.4.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Etapa 3.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Etapa 3.5.2.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{10}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Etapa 3.5.2.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Etapa 3.5.2.4.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.2.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Etapa 3.5.2.4.5.2

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Etapa 3.5.2.4.5.3

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.2.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Etapa 3.5.2.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Etapa 3.5.2.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Etapa 3.5.2.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.2.4.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Etapa 3.5.2.4.6.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Etapa 3.5.2.4.7

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Etapa 3.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Etapa 3.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Etapa 3.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ é $(0, - 2)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 2)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0.6$ de $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.62$ .

$- 0.62$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.62$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Etapa 7.2.2

Some $0.02$ e $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.62$ .

$0.62$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.62$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Etapa 9