Cálculo Exemplos

$y = x^{5} \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x^{5} \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.2.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Etapa 2.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4} \ln (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.5

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.2.6.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Etapa 2.2.3.2.2

Some $4 x^{3}$ e $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Etapa 2.2.3.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $9 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ por $20 x^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ por $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Etapa 3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Etapa 3.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Etapa 3.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ em $f (x) = x^{5} \ln (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Etapa 4.1.2.4

Mova $e^{\frac{9}{20}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Etapa 4.1.2.5

Expanda $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ movendo $- \frac{9}{20}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Etapa 4.1.2.6

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ por $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Etapa 4.1.2.9

Mova $20$ para a esquerda de $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Etapa 4.1.2.10

A resposta final é $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ em $f (x) = x^{5} \ln (x)$ é $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.53762815$ na expressão.

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.53762815$ à potência de $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $9$ por $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $0.53762815$ à potência de $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $20$ por $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique $3.10796414 \ln (0.53762815)$ movendo $3.10796414$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Etapa 6.2.1.6

Eleve $0.53762815$ à potência de $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Etapa 6.2.2

Some $1.39858386$ e $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Etapa 6.3

Em $0.53762815$ , a segunda derivada é $- 0.53018177$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.73762815$ na expressão.

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.73762815$ à potência de $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $9$ por $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $0.73762815$ à potência de $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $20$ por $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Etapa 7.2.1.5

Simplifique $8.02680006 \ln (0.73762815)$ movendo $8.02680006$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Etapa 7.2.1.6

Eleve $0.73762815$ à potência de $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Etapa 7.2.2

Some $3.61206002$ e $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1.16938082$ .

$1.16938082$

Etapa 7.3

Em $0.73762815$ , a segunda derivada é $1.16938082$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Etapa 9