Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.1.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.1.4.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Fatore $2$ de $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $2$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore.

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Etapa 3.3.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reordene os termos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 3.3.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 3.5

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 3.5.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 3.5.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 3.5.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.5.2.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 3.5.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 3.5.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 3.5.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 3.5.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.5.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.6

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $\sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 3.6.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 3.6.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 3.6.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 3.6.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.6.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.6.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.6.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.6.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.6.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 3.6.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.6.2.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.6.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 3.6.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{π}{6}$ em $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Etapa 4.1.2.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{6}$ em $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ é $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.42359877$ na expressão.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Etapa 6.3

Em $0.42359877$ , a segunda derivada é $0.50208433$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{π}{6})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.62359877$ na expressão.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Etapa 7.3

Em $0.62359877$ , a segunda derivada é $- 0.53195951$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{π}{6}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Etapa 9