Cálculo Exemplos

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 1

Escreva $y = \sin (x) + \cos (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.3

Separe as frações.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.6.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3.7

Separe as frações.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 3.8

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 3.9

Divida $0$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 3.10

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 3.11

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \tan (x) = 1$

Etapa 3.12

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.12.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.12.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.12.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 3.12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.12.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Etapa 3.13

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 3.14

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.14.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 3.15

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 3.16

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.16.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 3.16.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.17

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.17.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.17.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.17.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.17.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.18

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.18.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 3.18.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.18.3

Combine frações.

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Etapa 3.18.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 3.18.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 3.18.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.18.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 3.18.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 3.18.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 3.19

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $\frac{3 π}{4}$ em $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Etapa 4.1.2.2.3

Divida $0$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{3 π}{4}$ em $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ é $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $\frac{3 π}{4}$ em $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.3.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Etapa 4.3.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Etapa 4.3.2.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.2.2.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.2.3

Divida $0$ por $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{3 π}{4}$ em $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ é $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2.25619449$ na expressão.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Etapa 6.3

Em $2.25619449$ , a segunda derivada é $- 0.14118577$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.45619449$ na expressão.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Etapa 7.2

A resposta final é $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Etapa 7.3

Em $2.45619449$ , a segunda derivada é $0.14118577$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Etapa 9