Cálculo Exemplos

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 1

Escreva $y = \ln (x^{2} + 1)$ como uma função.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 2.1.2.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Etapa 2.1.2.4.3

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $x^{2} + 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Etapa 2.2.9

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

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Etapa 2.2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.10.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 2$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.3.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ em $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ é $(1, \ln (2))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, \ln (2))$

Etapa 4.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Etapa 4.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ é $(- 1, \ln (2))$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, \ln (2))$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1.21$ e $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $2.21$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 0.42$ por $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Etapa 6.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $- 0.08599332$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $0$ e $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Etapa 7.2.3

Divida $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 1, 1)$ .

Acréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.1.3

Some $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $1.21$ e $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $2.21$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 0.42$ por $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Etapa 8.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $- 0.08599332$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Etapa 10