Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Etapa 1

Escreva $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.2

Combine $\frac{4}{x}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.1

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3.2.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3.2.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.5.3.2.5

Divida $4 x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.7.2

Combine $\frac{4}{4}$ e $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.7.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.7.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 2.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Etapa 2.1.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Etapa 2.1.11.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Etapa 2.1.11.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x \ln (\frac{x}{4})$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.7

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.8

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.9

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.10

Multiplique $\frac{4}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.11

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.12

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.12.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.12.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.13

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.14

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.14.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.14.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.2.15

Multiplique $\ln (\frac{x}{4})$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Etapa 2.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $10$ e $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ por $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\ln (\frac{x}{4})$ por $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 15$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $5$ de $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1

Simplifique $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ em $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ na expressão.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Combine $5$ e $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 4.1.2.6

Combine.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Etapa 4.1.2.7

Reduza a expressão $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Etapa 4.1.2.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 4.1.2.8

Mova $e^{\frac{3}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 4.1.2.9

Expanda $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ movendo $- \frac{3}{2}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Etapa 4.1.2.10

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Etapa 4.1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Etapa 4.1.2.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.1.2.12.2

Fatore $2$ de $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.1.2.12.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Etapa 4.1.2.12.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Etapa 4.1.2.13

Combine $\frac{40}{e^{3}}$ e $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Etapa 4.1.2.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.14.1

Multiplique $40$ por $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Etapa 4.1.2.14.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Etapa 4.1.2.15

A resposta final é $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ em $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ é $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.79252064$ na expressão.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Divida $0.79252064$ por $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique $10 \ln (0.19813016)$ movendo $10$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $0.19813016$ à potência de $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Etapa 6.3

Em $0.79252064$ , a segunda derivada é $- 1.18831089$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.99252064$ na expressão.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Divida $0.99252064$ por $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique $10 \ln (0.24813016)$ movendo $10$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $0.24813016$ à potência de $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Etapa 7.3

Em $0.99252064$ , a segunda derivada é $1.06198168$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Etapa 9