Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.4

Some $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.1.2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.1.2.3.4.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Divida $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8