Cálculo Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 27}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} + 27}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 27$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.8.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.2

Reescreva $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$\frac{- (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.4

Reescreva $- (x^{2} - 27)$ como $- 1 (x^{2} - 27)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}] + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.4

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 27)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 (x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.4

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 27$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) (2 \cdot (x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.5.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \cdot 0$

Etapa 2.1.2.5.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.7.1

Multiplique $\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ por $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + 0$

Etapa 2.1.2.5.7.2

Some $- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.1

Reescreva ${(x^{2} + 27)}^{2}$ como $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 ((x^{2} + 27) (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2

Expanda $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 27) + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.2

Mova $27$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 \cdot x^{2} + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.1.3

Multiplique $27$ por $27$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 27 x^{2} + 27 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.3.2

Some $27 x^{2}$ e $27 x^{2}$ .

$- \frac{2 (x^{4} + 54 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (54 x^{2}) + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.5.1

Multiplique $54$ por $2$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $729$ .

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 1458) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x^{4} x + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{1 + 4} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x \cdot x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x^{1} x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{1 + 2} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x^{1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2 + 1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.9.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10

Expanda $(- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} (x^{3} + 27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{2} x + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x \cdot x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x^{1} x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{1 + 2} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.4

Multiplique $- 4$ por $27$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.1.5

Multiplique $27$ por $108$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.2

Some $- 108 x^{3}$ e $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 0 + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.1.11.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.2

Subtraia $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.3.3

Some $1458 x$ e $2916 x$ .

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.2

Fatore $2 x$ de $108 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.3

Fatore $2 x$ de $4374 x$ .

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2})$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)$ .

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 2187 = - 2187$ e cuja soma é $b = 54$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.1

Fatore $54$ de $54 u$ .

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 (u) + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.2

Reescreva $54$ como $- 27$ mais $81$

$- \frac{2 x (- u^{2} + (- 27 + 81) u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 x (- u^{2} - 27 u + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{2 x ((- u^{2} - 27 u) + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{2 x (u (- u - 27) - 81 (- u - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 27$ .

$- \frac{2 x ((- u - 27) (u - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.6

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 9^{2}))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.4.7

Fatore.

$- \frac{2 x (- x^{2} - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5

Cancele o fator comum de $- x^{2} - 27$ e ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.2

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 (27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (27)$ .

$- \frac{2 x (- (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.4

Reescreva $- (x^{2} + 27)$ como $- 1 (x^{2} + 27)$ .

$- \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.5

Fatore $x^{2} + 27$ de $2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.6.1

Fatore $x^{2} + 27$ de ${(x^{2} + 27)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.5.6.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{- 2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(2 x (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.8

Multiplique $- - \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.6.8.2

Multiplique $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x + 9) (x - 9) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3.3

Defina $x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Defina $x + 9$ como igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 2.2.3.3.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 2.2.3.4

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.4.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 2.2.3.4.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 2.2.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x + 9) (x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 9, 9$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x}{x^{2} + 27}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 27 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 27$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Etapa 3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Etapa 3.2.3.4

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.4.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Etapa 3.2.3.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Etapa 3.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 3.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 9)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 12$ na expressão.

$f'' (- 12) = \frac{2 (- 12) ((- 12) + 9) ((- 12) - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $144$ e $27$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{171^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $171$ à potência de $3$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{5000211}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Some $- 12$ e $9$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 24 \cdot (- 3 (- 12 - 9))}{5000211}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 24$ por $- 3$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 (- 12 - 9)}{5000211}$

Etapa 5.2.3.3

Subtraia $9$ de $- 12$ .

$f'' (- 12) = \frac{72 \cdot - 21}{5000211}$

Etapa 5.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $72$ por $- 21$ .

$f'' (- 12) = \frac{- 1512}{5000211}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 1512$ e $5000211$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Fatore $27$ de $- 1512$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 (- 56)}{5000211}$

Etapa 5.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.2.1

Fatore $27$ de $5000211$ .

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Etapa 5.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

Etapa 5.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 12) = \frac{- 56}{185193}$

Etapa 5.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 12) = - \frac{56}{185193}$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- \frac{56}{185193}$ .

$- \frac{56}{185193}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 9)$ porque $f'' (- 12)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 9, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ((- 4) + 9) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{43^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $43$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{79507}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Some $- 4$ e $9$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot (5 (- 4 - 9))}{79507}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 (- 4 - 9)}{79507}$

Etapa 6.2.3.3

Subtraia $9$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 40 \cdot - 13}{79507}$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- 40$ por $- 13$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{79507}$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $\frac{520}{79507}$ .

$\frac{520}{79507}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 9, 0)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 9, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 9)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ((4) + 9) ((4) - 9)}{{({(4)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(4^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{43^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $43$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{79507}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Some $4$ e $9$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot (13 (4 - 9))}{79507}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $8$ por $13$ .

$f'' (4) = \frac{104 (4 - 9)}{79507}$

Etapa 7.2.3.3

Subtraia $9$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{104 \cdot - 5}{79507}$

Etapa 7.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $104$ por $- 5$ .

$f'' (4) = \frac{- 520}{79507}$

Etapa 7.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = - \frac{520}{79507}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{520}{79507}$ .

$- \frac{520}{79507}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 9)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(9, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f'' (12) = \frac{2 (12) ((12) + 9) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(12^{2} + 27)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $144$ e $27$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{171^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $171$ à potência de $3$ .

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{5000211}$

Etapa 8.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Some $12$ e $9$ .

$f'' (12) = \frac{24 \cdot (21 (12 - 9))}{5000211}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $24$ por $21$ .

$f'' (12) = \frac{504 (12 - 9)}{5000211}$

Etapa 8.2.3.3

Subtraia $9$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{504 \cdot 3}{5000211}$

Etapa 8.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $504$ por $3$ .

$f'' (12) = \frac{1512}{5000211}$

Etapa 8.2.4.2

Cancele o fator comum de $1512$ e $5000211$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.2.1

Fatore $27$ de $1512$ .

$f'' (12) = \frac{27 (56)}{5000211}$

Etapa 8.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.2.2.1

Fatore $27$ de $5000211$ .

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Etapa 8.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

Etapa 8.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (12) = \frac{56}{185193}$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $\frac{56}{185193}$ .

$\frac{56}{185193}$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(9, \infty)$ porque $f'' (12)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 9, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10