Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.3.1

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.1.3.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 2.1.1.3.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.1.1.3.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 2.1.2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \cos (2 x) = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (2 x) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Etapa 2.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$2 x = \arccos (0)$

Etapa 2.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.4.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.5

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.5.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.2.5.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 2.2.6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.7

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.2.7.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.7.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.2.7.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.2.7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.2.7.1.5

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.2.7.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.7.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.7.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Etapa 2.2.7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.7.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.7.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.2.7.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.7.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.2.8

Encontre o período de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 2.2.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.2.8.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 2.2.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 2.2.8.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.2.9

O período da função $\cos (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.2.10

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6