Cálculo Exemplos

$\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{4} - 256$ .

$\frac{(x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 256) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4} - 256$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 256]}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 256$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256])}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $- 256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 256$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3

Some $3$ e $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 256) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.3.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3.1.1.3

Some $3$ e $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 256 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3.1.2

Multiplique $4$ por $- 256$ .

$\frac{4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3.2

Combine os termos opostos em $4 x^{7} - 1024 x^{3} - 4 x^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.3.2.1

Subtraia $4 x^{7}$ de $4 x^{7}$ .

$\frac{- 1024 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.3.2.2

Some $- 1024 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{- 1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1024$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1024 x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$ .

$- 1024 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 256)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} - 256)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 1024 \frac{{(x^{4} - 256)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.3.3

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{4} - 256)}^{2}$ .

$- 1024 \frac{3 \cdot {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 256)}^{2}]}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 256$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) \frac{d}{d x} [x^{4} - 256])}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 256$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 256]))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.4

Como $- 256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 256$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.5.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 256) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4} - 256$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot (x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.5.3

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 256) x^{3})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.7

Some $3$ e $3$ .

$- 1024 \frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.8

Combine $- 1024$ e $\frac{3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$ .

$\frac{- 1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 {(x^{4} - 256)}^{2} x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.1

Reescreva ${(x^{4} - 256)}^{2}$ como $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ .

$- \frac{1024 (3 ((x^{4} - 256) (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.2

Expanda $(x^{4} - 256) (x^{4} - 256)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} (x^{4} - 256) - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 (x^{4} - 256)) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1024 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1.1.2

Some $4$ e $4$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 256 - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1.2

Mova $- 256$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 \cdot x^{4} - 256 x^{4} - 256 \cdot - 256) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.1.3

Multiplique $- 256$ por $- 256$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 256 x^{4} - 256 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.3.2

Subtraia $256 x^{4}$ de $- 256 x^{4}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{8} - 512 x^{4} + 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 ((3 x^{8} + 3 (- 512 x^{4}) + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.5.1

Multiplique $- 512$ por $3$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 3 \cdot 65536) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.5.2

Multiplique $3$ por $65536$ .

$- \frac{1024 ((3 x^{8} - 1536 x^{4} + 196608) x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 x^{8} x^{2} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.1

Multiplique $x^{8}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.1.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 (x^{2} x^{8}) - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1024 (3 x^{2 + 8} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.1.3

Some $2$ e $8$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{4} x^{2} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 (x^{2} x^{4}) + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{2 + 4} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.7.2.3

Some $2$ e $4$ .

$- \frac{1024 (3 x^{10} - 1536 x^{6} + 196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 (3 x^{10}) + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.9.1

Multiplique $3$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} + 1024 (- 1536 x^{6}) + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.9.2

Multiplique $- 1536$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 1024 (196608 x^{2}) + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.9.3

Multiplique $196608$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{6} x^{4}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.10

Multiplique $x^{6}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.3.1.10.1

Mova $x^{4}$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{4 + 6}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.10.3

Some $4$ e $6$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 1024 (- 8 x^{10}) + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.11

Multiplique $- 8$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (- 8 x^{6} \cdot - 256)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.12

Multiplique $- 256$ por $- 8$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 1024 (2048 x^{6})}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.1.13

Multiplique $2048$ por $1024$ .

$- \frac{3072 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} - 8192 x^{10} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.2

Subtraia $8192 x^{10}$ de $3072 x^{10}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} - 1572864 x^{6} + 201326592 x^{2} + 2097152 x^{6}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.3.3

Some $- 1572864 x^{6}$ e $2097152 x^{6}$ .

$- \frac{- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.4.1

Fatore $1024 x^{2}$ de $- 5120 x^{10} + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.4.1.1

Fatore $1024 x^{2}$ de $- 5120 x^{10}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 524288 x^{6} + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.1.2

Fatore $1024 x^{2}$ de $524288 x^{6}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 201326592 x^{2}}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.1.3

Fatore $1024 x^{2}$ de $201326592 x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.1.4

Fatore $1024 x^{2}$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{8}) + 1024 x^{2} (512 x^{4})$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.1.5

Fatore $1024 x^{2}$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4}) + 1024 x^{2} (196608)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{8} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.2

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 512 x^{4} + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.3

Deixe $u = x^{4}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 5 \cdot 196608 = - 983040$ e cuja soma é $b = 512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.4.4.1.1

Fatore $512$ de $512 u$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + 512 (u) + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4.1.2

Reescreva $512$ como $- 768$ mais $1280$

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 768 + 1280) u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 u^{2} - 768 u + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u^{2} - 768 u) + 1280 u + 196608)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{1024 x^{2} (u (- 5 u - 768) - 256 (- 5 u - 768))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 5 u - 768$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 u - 768) (u - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) (x^{4} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 256))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.7

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ({(x^{2})}^{2} - 16^{2}))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} ((- 5 x^{4} - 768) ((x^{2} + 16) (x^{2} - 16)))}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.4.9

Fatore.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{4} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 256)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.2

Reescreva $256$ como $16^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{({(x^{2})}^{2} - 16^{2})}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 16$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 16))}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x^{2} - 4^{2}))}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4))}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{2} + 16) (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.6

Expanda $(x^{2} + 16) (x + 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.7.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.7.1.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.7.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 16 x + 16 \cdot 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.7.3

Multiplique $16$ por $4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{3} + 4 x^{2} + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.5.8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x^{3} + 4 x^{2}) + 16 x + 64)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} (x + 4) + 16 (x + 4))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.9

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 4$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{((x + 4) (x^{2} + 16))}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.5.10

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x^{2} + 16)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.6

Cancele o fator comum de $x^{2} + 16$ e ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.6.1

Fatore $x^{2} + 16$ de $1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x^{2} + 16) (x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.6.2.1

Fatore $x^{2} + 16$ de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.10.6.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x^{2} + 16) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4))}{(x^{2} + 16) ({(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.10.6.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.7

Cancele o fator comum de $x + 4$ e ${(x + 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.7.1

Fatore $x + 4$ de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768) (x + 4)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{{(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.7.2.1

Fatore $x + 4$ de ${(x + 4)}^{4} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.10.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x + 4) ((1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.10.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.8

Cancele o fator comum de $x - 4$ e ${(x - 4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.8.1

Fatore $x - 4$ de $(1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)) (x - 4)$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.10.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.8.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.1.2.10.8.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x - 4) (1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Etapa 2.1.2.10.8.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1024 x^{2} (- 5 x^{4} - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.9

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.10

Reescreva $- 768$ como $- 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 (768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.11

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{4}) - 1 (768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.12

Reescreva $- (5 x^{4} + 768)$ como $- 1 (5 x^{4} + 768)$ .

$- \frac{1024 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 768))}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.15

Multiplique $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ por $1$ .

$\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10.16

Reordene os fatores em $\frac{(1024 x^{2}) (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{4} + 768 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.2.3.2.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.3.3

Defina $5 x^{4} + 768$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Defina $5 x^{4} + 768$ como igual a $0$ .

$5 x^{4} + 768 = 0$

Etapa 2.2.3.3.2

Resolva $5 x^{4} + 768 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1

Subtraia $768$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} = - 768$

Etapa 2.2.3.3.2.2

Divida cada termo em $5 x^{4} = - 768$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $5 x^{4} = - 768$ por $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{- 768}{5}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 768}{5}$

Etapa 2.2.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{4} = - \frac{768}{5}$

Etapa 2.2.3.3.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Etapa 2.2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Etapa 2.2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Etapa 2.2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Etapa 2.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $1024 x^{2} (5 x^{4} + 768) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}, - \sqrt[4]{- \frac{768}{5}}$

Etapa 2.2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{1024 x^{2} (5 x^{4} + 768)}{{(x + 4)}^{3} {(x^{2} + 16)}^{3} {(x - 4)}^{3}} = 0$ verdadeira.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x^{4}}{x^{4} - 256}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{4} - 256 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $256$ aos dois lados da equação.

$x^{4} = 256$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{256}$

Etapa 3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{256}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reescreva $256$ como $4^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{4^{4}}$

Etapa 3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 4, - 4}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 {(- 6)}^{4} + 768)}{{((- 6) + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {((- 6) - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (5 \cdot 1296 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $5$ por $1296$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} (6480 + 768)}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $6480$ e $768$ .

$f'' (- 6) = \frac{1024 {(- 6)}^{2} \cdot 7248}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $7248$ por $1024$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 {(- 6)}^{2}}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.5

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 6 + 4)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {({(- 6)}^{2} + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} {(36 + 16)}^{3} {(- 6 - 4)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $36$ e $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 6 - 4)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.4

Subtraia $4$ de $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(- 2)}^{3} \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (52^{3} {(- 10)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.6

Eleve $52$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot (140608 {(- 10)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.7

Eleve $- 10$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 8 \cdot 140608 \cdot - 1000}$

Etapa 5.2.2.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.1

Multiplique $- 8$ por $140608$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{- 1124864 \cdot - 1000}$

Etapa 5.2.2.8.2

Multiplique $- 1124864$ por $- 1000$ .

$f'' (- 6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $7421952$ por $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $267190272$ e $1124864000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4096$ de $267190272$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $4096$ de $1124864000$ .

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{65232}{274625}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 {(- 2)}^{4} + 768)}{{((- 2) + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {((- 2) - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (5 \cdot 16 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} (80 + 768)}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $80$ e $768$ .

$f'' (- 2) = \frac{1024 {(- 2)}^{2} \cdot 848}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $848$ por $1024$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 {(- 2)}^{2}}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{{(- 2 + 4)}^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 2$ e $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {({(- 2)}^{2} + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} {(4 + 16)}^{3} {(- 2 - 4)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $4$ e $16$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 2 - 4)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.4

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{2^{3} \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (20^{3} {(- 6)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.6

Eleve $20$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot (8000 {(- 6)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.7

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{8 \cdot 8000 \cdot - 216}$

Etapa 6.2.2.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.8.1

Multiplique $8$ por $8000$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{64000 \cdot - 216}$

Etapa 6.2.2.8.2

Multiplique $64000$ por $- 216$ .

$f'' (- 2) = \frac{868352 \cdot 4}{- 13824000}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $868352$ por $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $3473408$ e $- 13824000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $4096$ de $3473408$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $4096$ de $- 13824000$ .

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{848}{- 3375}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{848}{3375}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 4, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{1024 {(2)}^{2} (5 {(2)}^{4} + 768)}{{((2) + 4)}^{3} {({(2)}^{2} + 16)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Reescreva $1024$ como $2^{10}$ .

$f'' (2) = \frac{2^{10} \cdot (2^{2} (5 \cdot 2^{4} + 768))}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (2) = \frac{2^{10 + 2} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $10$ e $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{{(2 + 4)}^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $2$ e $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(2^{2} + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} {(4 + 16)}^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Some $4$ e $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(2 - 4)}^{3})}$

Etapa 7.2.2.4

Subtraia $4$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{6^{3} \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Etapa 7.2.2.5

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (20^{3} {(- 2)}^{3})}$

Etapa 7.2.2.6

Eleve $20$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot (8000 {(- 2)}^{3})}$

Etapa 7.2.2.7

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{216 \cdot 8000 \cdot - 8}$

Etapa 7.2.2.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.8.1

Multiplique $216$ por $8000$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{1728000 \cdot - 8}$

Etapa 7.2.2.8.2

Multiplique $1728000$ por $- 8$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 2^{4} + 768)}{- 13824000}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (5 \cdot 16 + 768)}{- 13824000}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} (80 + 768)}{- 13824000}$

Etapa 7.2.3.3

Some $80$ e $768$ .

$f'' (2) = \frac{2^{12} \cdot 848}{- 13824000}$

Etapa 7.2.3.4

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{- 13824000}$

Etapa 7.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $4096$ por $848$ .

$f'' (2) = \frac{3473408}{- 13824000}$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum de $3473408$ e $- 13824000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.1

Fatore $4096$ de $3473408$ .

$f'' (2) = \frac{4096 (848)}{- 13824000}$

Etapa 7.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.2.2.1

Fatore $4096$ de $- 13824000$ .

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Etapa 7.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{4096 \cdot 848}{4096 \cdot - 3375}$

Etapa 7.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{848}{- 3375}$

Etapa 7.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (2) = - \frac{848}{3375}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- \frac{848}{3375}$ .

$- \frac{848}{3375}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 4)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{1024 {(6)}^{2} (5 {(6)}^{4} + 768)}{{((6) + 4)}^{3} {({(6)}^{2} + 16)}^{3} {((6) - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (5 \cdot 1296 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $5$ por $1296$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot (6^{2} (6480 + 768))}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.3

Some $6480$ e $768$ .

$f'' (6) = \frac{1024 \cdot 6^{2} \cdot 7248}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $7248$ por $1024$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 6^{2}}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{{(6 + 4)}^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $6$ e $4$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(6^{2} + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} {(36 + 16)}^{3} {(6 - 4)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Some $36$ e $16$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot (52^{3} {(6 - 4)}^{3})}$

Etapa 8.2.2.4

Subtraia $4$ de $6$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{10^{3} \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 8.2.2.5

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 52^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 8.2.2.6

Eleve $52$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 2^{3}}$

Etapa 8.2.2.7

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1000 \cdot 140608 \cdot 8}$

Etapa 8.2.2.8

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.8.1

Multiplique $1000$ por $140608$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{140608000 \cdot 8}$

Etapa 8.2.2.8.2

Multiplique $140608000$ por $8$ .

$f'' (6) = \frac{7421952 \cdot 36}{1124864000}$

Etapa 8.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $7421952$ por $36$ .

$f'' (6) = \frac{267190272}{1124864000}$

Etapa 8.2.3.2

Cancele o fator comum de $267190272$ e $1124864000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Fatore $4096$ de $267190272$ .

$f'' (6) = \frac{4096 (65232)}{1124864000}$

Etapa 8.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.2.1

Fatore $4096$ de $1124864000$ .

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Etapa 8.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{4096 \cdot 65232}{4096 \cdot 274625}$

Etapa 8.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{65232}{274625}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $\frac{65232}{274625}$ .

$\frac{65232}{274625}$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 4, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(0, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10