Cálculo Exemplos

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 1

Escreva $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ como uma função.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.1.2.2

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 2.1.1.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 2.1.1.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Etapa 2.1.1.2.4.3

Combine $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Etapa 2.1.1.2.4.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.4

Divida $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Etapa 2.1.1.2.4.5

Reordene os fatores em $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ e $x$ .

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2.4

Divida $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.2.11.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.2.11.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.2.11.3

Reordene os termos.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.2.11.4

Reordene os fatores em $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.2.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Divida $16$ por $2$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.6

Combine $16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Etapa 5.2.1.7

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

Etapa 5.2.1.8

Divida $16$ por $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

Etapa 5.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Etapa 5.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Divida $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Etapa 6.2.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

Etapa 6.2.1.8

Divida $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

Etapa 6.2.1.10

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Divida $16$ por $2$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.6

Combine $16$ e $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.1.7

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

Etapa 7.2.1.8

Divida $16$ por $2$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

Etapa 7.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

Etapa 7.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $1$ de $16$ .

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{15}{e^{8}}$ .

$\frac{15}{e^{8}}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9