Cálculo Exemplos

$\arctan (x)$

Etapa 1

Escreva $\arctan (x)$ como uma função.

$f (x) = \arctan (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 2.1.2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 2.1.2.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 2.1.2.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $4$ e $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8