Cálculo Exemplos

$A (x) = x \sqrt{x + 5}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.3

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.12.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.14

Multiplique ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.1.15

Para escrever ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.16

Combine ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18

Multiplique ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.18.1

Mova ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.19

Simplifique ${(x + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 5) \cdot 2}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20

Mova $2$ para a esquerda de $x + 5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 5)}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 5}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.21.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x + 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x + 10}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x + 10$ e $g (x) = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x + 10) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (10)) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.5

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{{(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.11.3

Mova ${(x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.14

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.15

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.15.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$

Etapa 1.1.2.15.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 5}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 10) \frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x + 5)}$

Etapa 1.1.2.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 5)}$

Etapa 1.1.2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.1

Adicione parênteses.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 10) (\frac{1}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.2

Deixe $u_{2} = {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.2.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.2.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x + 5) - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot 5 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.1.4

Multiplique $6$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 30 - 3 x - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.2

Subtraia $3 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 30 - 10}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.3.4.3

Subtraia $10$ de $30$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.2.16.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$

Etapa 1.1.2.16.4.2

Reescreva $\frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 10}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 10}$

Etapa 1.1.2.16.4.3

Multiplique $\frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x + 10}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 10)}$

Etapa 1.1.2.16.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.5.1

Fatore $2$ de $2 x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 10)}$

Etapa 1.1.2.16.5.1.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 5)}$

Etapa 1.1.2.16.5.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 5))}$

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{2 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 5))}$

Etapa 1.1.2.16.5.2

Combine expoentes.

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Etapa 1.1.2.16.5.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{1}{2}} (x + 5)}$

Etapa 1.1.2.16.5.2.2

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 ((x + 5) {(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.16.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.5.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.5.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $A (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x + 20 = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.3.1

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 20$

Etapa 1.2.3.2

Divida cada termo em $3 x = - 20$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 20$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Etapa 1.2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Etapa 1.2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{20}{3}$

Etapa 1.2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{3 x + 20}{4 {(x + 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 2

Encontre o domínio de $A (x) = x \sqrt{x + 5}$ .

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Etapa 2.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 5}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 5 \geq 0$

Etapa 2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 5$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 5}$

Notação de intervalo:

$[- 5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 5}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$[- 5, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $[- 5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$A'' (0) = \frac{3 (0) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Fatore $4$ de $3 (0)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 20}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $4$ de $20$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot 5}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.3

Fatore $4$ de $4 (3 \cdot (0)) + 4 (5)$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.4.1

Fatore $4$ de $4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 ({((0) + 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.2.4.2

Cancele o fator comum.

$A'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) + 5)}{4 {((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4.3

Reescreva a expressão.

$A'' (0) = \frac{3 \cdot (0) + 5}{{((0) + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$A'' (0) = \frac{0 + 5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.5.2

Some $0$ e $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{{(0 + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Some $0$ e $5$ .

$A'' (0) = \frac{5}{5^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.6.2

Mova $5^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Etapa 4.2.7

Multiplique $5^{\frac{3}{2}}$ por $5^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1}}$

Etapa 4.2.7.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.7.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.2.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.2.7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Etapa 4.2.7.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$A'' (0) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.8

A resposta final é $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $[- 5, \infty)$ porque $A'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $[- 5, \infty)$ , já que $A'' (x)$ é positivo

Etapa 5