Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - x$ e $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.11

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.12

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Expanda $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.9

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.10

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3

Some $- x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4

Subtraia $8 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.5

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.6

Expanda $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.7.2

Some $- 3 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Some $5 x^{2} - 11 x + 4$ e $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia $x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.4

Some $- 11 x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{2} - 8 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.3

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.4

Fatore $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Aplique a regra do produto a $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Cancele o fator comum de ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Etapa 1.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ como ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.4

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 4$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 4}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Some $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida $8$ por $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $0$ e $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $8$ de $64$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 4, 1)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 4, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $4$ e $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $512$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $8$ de $512$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 4, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8