Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} + 12) (4 - x^{2})$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 12$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- (2 x)) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12)$

Etapa 1.1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Etapa 1.1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Etapa 1.1.1.2.9

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x + 0)$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + (4 - x^{2}) (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12) (- 2 x) + 2 \cdot ((4 - x^{2}) x)$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 (4 - x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + (2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{2} (- 2 x) + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot - 2 + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 \cdot x^{3} + 12 (- 2 x) + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 2 \cdot (4 x) + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x + 2 (- x^{2}) x$

Etapa 1.1.1.3.4.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{2} x$

Etapa 1.1.1.3.4.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 (x \cdot x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{1 + 2}$

Etapa 1.1.1.3.4.8

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 24 x + 8 x - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.1.3.4.9

Some $- 24 x$ e $8 x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} - 16 x - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.1.3.4.10

Subtraia $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} - 16$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{2} - 16$ .

$- 12 x^{2} - 16$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{2} - 16 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{2} - 16 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$- 12 x^{2} = 16$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = 16$ por $- 12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = 16$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{16}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{- 12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $16$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $4$ de $16$ .

$x^{2} = \frac{4 (4)}{- 12}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{4}{- 3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.5.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.2.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.5.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.8

Combine $i$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 1.2.5.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 - 16$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 16$

Etapa 4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$f'' (0) = - 16$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 5