Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 + 4 x^{2} - x^{4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + 4 x^{2} - x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0 + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - (4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 + 8 x - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Some $0$ e $8 x$ .

$f' (x) = 8 x - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x^{3} + 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{2} + 8$ .

$- 12 x^{2} + 8$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{2} + 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{2} + 8 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 12 x^{2} = - 8$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 8$ por $- 12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 8$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 8}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 8$ .

$x^{2} = \frac{- 4 (2)}{- 12}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $- 4$ de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{- 4 \cdot 2}{- 4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{2}{3}$

Etapa 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{2}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.5.3.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 1.2.5.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{6}}{3}, - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - 12 {(- 3)}^{2} + 8$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 8$

Etapa 4.2.2

Some $- 108$ e $8$ .

$f'' (- 3) = - 100$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 100$ .

$- 100$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 8$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 8$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 8$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $8$ .

$f'' (0) = 8$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - 12 {(3)}^{2} + 8$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = - 12 \cdot 9 + 8$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$f'' (3) = - 108 + 8$

Etapa 6.2.2

Some $- 108$ e $8$ .

$f'' (3) = - 100$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 100$ .

$- 100$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{6}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8