Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $12$ de $- 48 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $12$ de $12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e cuja soma é $b = - 4$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 x$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 4$ como $- 1$ mais $- 3$

$12 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$12 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$12 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$12 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 12$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 12$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{3}, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.67$ na expressão.

$f'' (0.67) = 36 {(0.67)}^{2} - 48 \cdot 0.67 + 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $0.67$ à potência de $2$ .

$f'' (0.67) = 36 \cdot 0.4489 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.4489$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $0.67$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 32.16 + 12$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $32.16$ de $16.1604$ .

$f'' (0.67) = - 15.9996 + 12$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 15.9996$ e $12$ .

$f'' (0.67) = - 3.9996$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 3.9996$ .

$- 3.9996$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{1}{3}, 1)$ porque $f'' (0.67)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{3}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $16$ .

$f'' (4) = 576 - 48 \cdot 4 + 12$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 48$ por $4$ .

$f'' (4) = 576 - 192 + 12$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $192$ de $576$ .

$f'' (4) = 384 + 12$

Etapa 6.2.2.2

Some $384$ e $12$ .

$f'' (4) = 396$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $396$ .

$396$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{1}{3}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8