Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$36 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$36 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 24 x - 24$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 24 x - 24 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $12$ de $36 x^{2} - 24 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 24 x - 24 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $12$ de $- 24 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) - 24 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $12$ de $- 24$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 2 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} - 2 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 2 x - 2) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (3 x^{2} - 2 x - 2)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 2 x - 2$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 2 = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 2 x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 2$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.3

Some $4$ e $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 1.2.8.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 1.2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3}) \cup (\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 - 24$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot 9 - 24 \cdot - 3 - 24$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $36$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 324 - 24 \cdot - 3 - 24$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 + 72 - 24$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $324$ e $72$ .

$f'' (- 3) = 396 - 24$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $24$ de $396$ .

$f'' (- 3) = 372$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $372$ .

$372$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 - 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 24$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 24$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 24$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 24$ .

$- 24$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 - 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 24 \cdot 4 - 24$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $16$ .

$f'' (4) = 576 - 24 \cdot 4 - 24$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (4) = 576 - 96 - 24$

Etapa 6.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $96$ de $576$ .

$f'' (4) = 480 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $24$ de $480$ .

$f'' (4) = 456$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $456$ .

$456$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, \frac{1 - \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{1 - \sqrt{7}}{3}, \frac{1 + \sqrt{7}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{1 + \sqrt{7}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8