Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $24$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 (2 x)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x^{2}$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $72$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Etapa 1.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ .

$- 36 x^{2} + 144 x - 96$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 12$ de $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 12$ de $- 36 x^{2}$ .

$- 12 (3 x^{2}) + 144 x - 96 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- 12$ de $144 x$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 96 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- 12$ de $- 96$ .

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

Etapa 1.2.2.4

Fatore $- 12$ de $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore $- 12$ de $- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 (8)$ .

$- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ por $- 12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 12 x + 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{- 12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $0$ por $- 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Etapa 1.2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 12$ e $c = 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.7.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.3

Subtraia $96$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 1.2.8.3

Simplifique $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 36 {(0)}^{2} + 144 (0) - 96$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 36 \cdot 0 + 144 (0) - 96$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 144 (0) - 96$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $144$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 96$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $96$ de $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 96$ .

$- 96$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = - 36 {(2)}^{2} + 144 (2) - 96$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = - 36 \cdot 4 + 144 (2) - 96$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f'' (2) = - 144 + 144 (2) - 96$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $144$ por $2$ .

$f'' (2) = - 144 + 288 - 96$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 144$ e $288$ .

$f'' (2) = 144 - 96$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $96$ de $144$ .

$f'' (2) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = - 36 {(6)}^{2} + 144 (6) - 96$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = - 36 \cdot 36 + 144 (6) - 96$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 36$ por $36$ .

$f'' (6) = - 1296 + 144 (6) - 96$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $144$ por $6$ .

$f'' (6) = - 1296 + 864 - 96$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 1296$ e $864$ .

$f'' (6) = - 432 - 96$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $96$ de $- 432$ .

$f'' (6) = - 528$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 528$ .

$- 528$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (6)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8