Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 18$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (18)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.5.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 + 0$

Etapa 1.1.1.5.2

Some $6 x^{2} - 6 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 6 x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6 + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $12 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 6$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x - 6$ .

$12 x - 6$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x - 6 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$12 x = 6$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 x = 6$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 x = 6$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $12$ .

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Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $6$ de $6$ .

$x = \frac{6 (1)}{12}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 (0) - 6$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Etapa 4.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 12 (3) - 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$f'' (3) = 36 - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia $6$ de $36$ .

$f'' (3) = 30$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $30$ .

$30$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{1}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{1}{2}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7