Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{6} + 5 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{5} + 5 (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + 10 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{5} + 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{5}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $5$ por $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [10 x]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{4} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 x^{4} + 10 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + 10$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $30 x^{4} + 10$ .

$30 x^{4} + 10$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $30 x^{4} + 10 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$30 x^{4} + 10 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$30 x^{4} = - 10$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $30 x^{4} = - 10$ por $30$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $30 x^{4} = - 10$ por $30$ .

$\frac{30 x^{4}}{30} = \frac{- 10}{30}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $30$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{30 x^{4}}{30} = \frac{- 10}{30}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 10}{30}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $30$ .

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Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $10$ de $- 10$ .

$x^{4} = \frac{10 (- 1)}{30}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $10$ de $30$ .

$x^{4} = \frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} = \frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{4} = - \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{3}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{3}}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} + 10$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 30 \cdot 0 + 10$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 10$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $10$ .

$f'' (0) = 10$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 5