Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 9}{x - 9}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 9$ e $g (x) = x - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 9) \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x - 9$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) \frac{d}{d x} (x - 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9) \cdot 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 9 - (x + 9)}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 9 - x - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 9 - x - 1 \cdot 9$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 9 - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$f' (x) = \frac{- 9 - 1 \cdot 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{- 9 - 9}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 18}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{18}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.2.1.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{18}{{(x - 9)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ como ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} {(x - 9)}^{- 2}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 9$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 9$ .

$f'' (x) = - 18 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 9))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 9$ .

$f'' (x) = - 18 (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 18$ .

$f'' (x) = 36 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 9))$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 {(x - 9)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 36 (\frac{1}{{(x - 9)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine $36$ e $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{36}{{(x - 9)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{36}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{36}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$36 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $36 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x + 9}{x - 9}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x + 9}{x - 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 9 = 0$

Etapa 2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 9}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 9}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 9)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{36}{{((0) - 9)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $9$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{36}{{(- 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 9$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{36}{- 729}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $36$ e $- 729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $9$ de $36$ .

$f'' (0) = \frac{9 (4)}{- 729}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $9$ de $- 729$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 81}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot - 81}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{4}{- 81}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{4}{81}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{4}{81}$ .

$- \frac{4}{81}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 9)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(9, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f'' (12) = \frac{36}{{((12) - 9)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $9$ de $12$ .

$f'' (12) = \frac{36}{3^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (12) = \frac{36}{27}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $36$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $9$ de $36$ .

$f'' (12) = \frac{9 (4)}{27}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f'' (12) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (12) = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (12) = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(9, \infty)$ porque $f'' (12)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 9)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7