Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{2}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.1.1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 1.1.1.3.7

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x - 20 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 1.1.2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 1.1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 1.1.2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 1.1.2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 1.1.2.3.7

Multiplique $- 2$ por $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $40 \sin (2 x) = - 20$ por $40$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $40 \sin (2 x) = - 20$ por $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 20$ e $40$ .

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Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $20$ de $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $20$ de $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 1.2.5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Etapa 1.2.6

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.6.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.6.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6.3.2

Multiplique $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.2.6.3.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 1.2.7

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.8.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 1.2.8.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 1.2.8.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.2.8.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.8.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.8.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Etapa 1.2.8.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.8.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8.3.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.2.8.3.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 1.2.8.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 1.2.9

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 1.2.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.9.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 1.2.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 1.2.9.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.10

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.10.1

Some $π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Etapa 1.2.10.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 1.2.10.3

Combine frações.

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Etapa 1.2.10.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 1.2.10.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 1.2.10.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.10.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Etapa 1.2.10.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Etapa 1.2.10.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{12}$

Etapa 1.2.11

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $40$ por $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Etapa 4.2.2

Some $20$ e $0$ .

$f'' (0) = 20$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $20$ .

$20$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5