Cálculo Exemplos

$y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 1$

Etapa 1

Escreva $y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 1$ como uma função.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 1$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 2.1.1.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9 + 0$

Etapa 2.1.1.5.2

Some $- 3 x^{2} + 12 x - 9$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 9$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 12 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12 + 0$

Etapa 2.1.2.4.2

Some $- 6 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x + 12$ .

$- 6 x + 12$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x + 12 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x + 12 = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = - 12$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $- 6 x = - 12$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x = - 12$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 6}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.3.1

Divida $- 12$ por $- 6$ .

$x = 2$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 12$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Etapa 5.2.2

Some $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - 6 \cdot 4 + 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f'' (4) = - 24 + 12$

Etapa 6.2.2

Some $- 24$ e $12$ .

$f'' (4) = - 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8