Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{\frac{2}{3}}$ como uma função.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 2.1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 2.1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 2.1.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 2.1.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 2.1.1.7

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.1.1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 2.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.2.7.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Etapa 2.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.9

Combine $x^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 2.1.2.11

Multiplique.

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Etapa 2.1.2.11.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Etapa 2.1.2.11.2

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Etapa 3.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

O gráfico tem concavidade para baixo porque a segunda derivada é negativa.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 5