Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{2}}{x - 6}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 6$ .

$\frac{(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 6$ .

$\frac{2 \cdot (x - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 6]}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 6 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x (x - 12)] - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 12$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} [x - 12] + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \frac{d}{d x} [x]) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + (x - 12) \cdot 1) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.6.1

Multiplique $x - 12$ por $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (x + x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.4.6.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - x (x - 12) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Fatore $x - 6$ de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.2.1

Fatore $x - 6$ de ${(x - 6)}^{2} (2 x - 12)$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) - 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2.2

Fatore $x - 6$ de $- 2 x (x - 12) ((x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.6.2.3

Fatore $x - 6$ de $(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12)) + (x - 6) (- 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{{(x - 6)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Fatore $x - 6$ de ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 6) ((x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6]))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x - 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.10

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12) \cdot 1}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.11.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x (x - 12)}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x - 6) (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.1

Expanda $(x - 6) (2 x - 12)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 12) - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x - 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 12 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.3

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 \cdot x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.2.2

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 24 x + 72 - 2 x^{2} + 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.12.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 0 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.2.2

Some $- 24 x + 72$ e $0$ .

$\frac{- 24 x + 72 + 24 x}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.2.3

Some $- 24 x$ e $24 x$ .

$\frac{0 + 72}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.12.2.2.4

Some $0$ e $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{72}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$72 = 0$

Etapa 2.2.3

Como $72 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x - 6}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 6 = 0$

Etapa 3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 6}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{72}{{((0) - 6)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $6$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{72}{- 216}$

Etapa 5.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $72$ e $- 216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Fatore $72$ de $72$ .

$f'' (0) = \frac{72 (1)}{- 216}$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Fatore $72$ de $- 216$ .

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{- 3}$

Etapa 5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 6)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = \frac{72}{{((8) - 6)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $6$ de $8$ .

$f'' (8) = \frac{72}{2^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (8) = \frac{72}{8}$

Etapa 6.2.2

Divida $72$ por $8$ .

$f'' (8) = 9$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 6)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8