Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} - 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - (2 x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 1) x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 1 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.2

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.5.2.1

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x + 0 + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.2.2

Some $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x + 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.5.3

Some $- 4 x$ e $2 x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.7.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Etapa 2.1.1.3.7.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot {(x + 1)}^{2} (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot {(x - 1)}^{2} (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.5

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.5.3

Combine $- 2$ e $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.1

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.1.1

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.1.2

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.1.3

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.1.4

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.1.5

Fatore $2 (x + 1) (x - 1)$ de $2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 2 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.4.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.3.7.1

Mova $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.4.4.1

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.4.2

Some $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.5.3

Cancele o fator comum de $x + 1$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.3.1

Fatore $x + 1$ de $2 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.3.2.1

Fatore $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x + 1) ((2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Etapa 2.1.2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{(2 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.5.4

Cancele o fator comum de $x - 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.4.1

Fatore $x - 1$ de $2 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 2.1.2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.9.5.4.2.1

Fatore $x - 1$ de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{(x - 1) (2 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Etapa 2.1.2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.7

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$- \frac{2 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.9

Reescreva $- (3 x^{2} + 1)$ como $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.2.9.12

Multiplique $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (3 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{2} + 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2} + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} + 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 1$

Etapa 2.2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.2.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.1

Reescreva $- \frac{1}{3}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.3.5.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 2.2.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Etapa 2.2.3.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.3.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.5.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.5.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 2.2.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.2.3.5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.2.3.5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.3.5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.2.3.5.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.3.5.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{2 x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 3.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1, - 1}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} + 1)}{{((- 4) + 1)}^{3} {((- 4) - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $48$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 4 + 1)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 4 - 1)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{{(- 3)}^{3} {(- 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 {(- 5)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 49}{- 27 \cdot - 125}$

Etapa 5.2.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $49$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{- 27 \cdot - 125}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 27$ por $- 125$ .

$f'' (- 4) = \frac{98}{3375}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} + 1)}{{((0) + 1)}^{3} {((0) - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 + 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1 \cdot (0 - 1))}^{3} {(0 - 1)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 \cdot (0 - 1)$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique ${(0 - 1)}^{3}$ por ${(0 - 1)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.6.1

Mova ${(0 - 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot ({(0 - 1)}^{3} {(0 - 1)}^{3})}$

Etapa 6.2.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{3 + 3}}$

Etapa 6.2.2.6.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{6}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 {(- 1)}^{6}}$

Etapa 6.2.4.2

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{- 1}$

Etapa 6.2.5.2

Divida $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - 2$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{2 (3 {(4)}^{2} + 1)}{{((4) + 1)}^{3} {((4) - 1)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{2 (3 \cdot 16 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{2 (48 + 1)}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.3

Some $48$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{{(4 + 1)}^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $4$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} {(4 - 1)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{5^{3} \cdot 3^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 3^{3}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 49}{125 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $49$ .

$f'' (4) = \frac{98}{125 \cdot 27}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $125$ por $27$ .

$f'' (4) = \frac{98}{3375}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{98}{3375}$ .

$\frac{98}{3375}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9