Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 5 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{- 1}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$7 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$7 + 5 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$7 - 5 x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 5 x^{- 2} + 7$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 5 x^{- 2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- 2}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$- 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 1.1.2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $10 x^{- 3}$ e $0$ .

$10 x^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Combine $10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{10}{x^{3}}$ .

$\frac{10}{x^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{10}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{10}{x^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$10 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $10 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = 7 x + 5 x^{- 1}$ .

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Etapa 2.1

Defina a base em $x^{- 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{10}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{10}{- 8}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (5)}{- 8}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Etapa 4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 4}$

Etapa 4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{5}{- 4}$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{5}{4}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{10}{{(2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = \frac{10}{8}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $10$ e $8$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (5)}{8}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7