Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 30 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} - 30 (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 30$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - 60 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x^{2} - 60 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{2} - 60$ .

$60 x^{2} - 60$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{2} - 60 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{2} - 60 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $60$ aos dois lados da equação.

$60 x^{2} = 60$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $60 x^{2} = 60$ por $60$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $60 x^{2} = 60$ por $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $60$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{60}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $60$ por $60$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 1.2.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 60 {(- 4)}^{2} - 60$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 60 \cdot 16 - 60$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $60$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 960 - 60$

Etapa 4.2.2

Subtraia $60$ de $960$ .

$f'' (- 4) = 900$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $900$ .

$900$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $60$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 60$

Etapa 5.2.2

Subtraia $60$ de $0$ .

$f'' (0) = - 60$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 60 {(4)}^{2} - 60$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 60 \cdot 16 - 60$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $16$ .

$f'' (4) = 960 - 60$

Etapa 6.2.2

Subtraia $60$ de $960$ .

$f'' (4) = 900$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $900$ .

$900$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8