Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(6 - x)}^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva ${(6 - x)}^{2}$ como $(6 - x) (6 - x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((6 - x) (6 - x)))$

Etapa 1.1.1.2

Expanda $(6 - x) (6 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 (6 - x) - x (6 - x)))$

Etapa 1.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)))$

Etapa 1.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)))$

Etapa 1.1.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)))$

Etapa 1.1.1.3.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)))$

Etapa 1.1.1.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))$

Etapa 1.1.1.3.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))$

Etapa 1.1.1.3.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))$

Etapa 1.1.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (36 - 12 x + x^{2}))$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 36 - 12 x + x^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (36 - 12 x + x^{2}) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 - 12 x + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (36) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.2

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.4

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (- 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.6

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + (36 - 12 x + x^{2}) \cdot 1$

Etapa 1.1.1.5.9

Multiplique $36 - 12 x + x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 12 + 2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x \cdot - 12 + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.2.1

Mova $- 12$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - 12 \cdot x + x (2 x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 (x \cdot x) + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{1 + 1} + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = - 12 x + 2 x^{2} + 36 - 12 x + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.6

Subtraia $12 x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = - 24 x + 2 x^{2} + 36 + x^{2}$

Etapa 1.1.1.6.2.7

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 x + 3 x^{2} + 36$

Etapa 1.1.1.6.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 24 x + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (36)$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $6 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $24$ aos dois lados da equação.

$6 x = 24$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $6 x = 24$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 24$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida $24$ por $6$ .

$x = 4$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 6 (0) - 24$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 24$

Etapa 4.2.2

Subtraia $24$ de $0$ .

$f'' (0) = - 24$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 24$ .

$- 24$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 4)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 6 (6) - 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f'' (6) = 36 - 24$

Etapa 5.2.2

Subtraia $24$ de $36$ .

$f'' (6) = 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $12$ .

$12$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7