Cálculo Exemplos

$p (x) = \sqrt[3]{x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 1.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 1.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 1.1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Etapa 1.1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 1.1.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1.1.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Etapa 1.1.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 1.1.2.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.11.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Etapa 1.1.2.11.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Etapa 1.1.2.11.3

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $p (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O gráfico tem concavidade para baixo porque a segunda derivada é negativa.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 4