Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x + 9}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 9}$ como ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 9$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 9$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 9$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8

Combine frações.

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Etapa 1.1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.3

Mova ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.11

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.12.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.14

Multiplique ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.1.15

Para escrever ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.16

Combine ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18

Multiplique ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.1.18.1

Mova ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 9)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.19

Simplifique ${(x + 9)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 9) \cdot 2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20

Mova $2$ para a esquerda de $x + 9$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 9)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 9}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.21.2.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.3

Fatore $3$ de $3 x + 18$ .

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Etapa 1.1.1.21.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 18}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.3.2

Fatore $3$ de $18$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21.3.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 6$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 (x + 6)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 6}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 6$ e $g (x) = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.5.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Multiplique ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.11.3

Mova ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 9))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.14

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.15

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.15.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.15.2

Multiplique $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.15.3

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 9}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 9)}$

Etapa 1.1.2.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

Etapa 1.1.2.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 9)}$

Etapa 1.1.2.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.1.1

Fatore $3$ de $3 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.1.2

Fatore $3$ de $3 (- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.1.3

Fatore $3$ de $3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 6) \frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 9)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.2

Deixe $u_{2} = {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.2.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.2.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 6}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 9) - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 9 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.1.4

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 18 - x - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 18 - 6}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.4.4.3

Subtraia $6$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.5.1

Combine $3$ e $\frac{x + 12}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 9}$

Etapa 1.1.2.16.5.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$

Etapa 1.1.2.16.5.3

Reescreva $\frac{\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 18}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 18}$

Etapa 1.1.2.16.5.4

Multiplique $\frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 x + 18}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 18)}$

Etapa 1.1.2.16.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.6.1

Fatore $2$ de $2 x + 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.6.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 18)}$

Etapa 1.1.2.16.6.1.2

Fatore $2$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 9)}$

Etapa 1.1.2.16.6.1.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot 9$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 9))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 9))}$

Etapa 1.1.2.16.6.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x + 9)}$

Etapa 1.1.2.16.6.2.2

Eleve $x + 9$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 ((x + 9) {(x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.16.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.6.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.6.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.16.6.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (x + 12) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $3 (x + 12) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $3 (x + 12) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x + 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x + 12$ por $1$ .

$x + 12 = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x + 12 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x = - 12$

Etapa 1.2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{3 (x + 12)}{4 {(x + 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x \sqrt{x + 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o radicando em $\sqrt{x + 9}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x + 9 \geq 0$

Etapa 2.2

Subtraia $9$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 9$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 9}$

Notação de intervalo:

$[- 9, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq - 9}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$[- 9, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $[- 9, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 12)}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Fatore $4$ de $3 ((0) + 12)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $4$ de $4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 ({((0) + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 3))}{4 {((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 3)}{{((0) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.3

Some $0$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Some $0$ e $9$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{9^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 4.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 4.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{3^{3}}$

Etapa 4.2.4.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 3}{27}$

Etapa 4.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (0) = \frac{9}{27}$

Etapa 4.2.5.2

Cancele o fator comum de $9$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$f'' (0) = \frac{9 (1)}{27}$

Etapa 4.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{1}{3}$

Etapa 4.2.6

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $[- 9, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $[- 9, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5