Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - 3 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine $- 3$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.1.2.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.11

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.2.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.1.1.2.12.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.12.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.6.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.12

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.13

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.14.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.15

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.16

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.17

Multiplique $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.18

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.2.2.19

Some $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x - 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$x - 3 \sqrt[3]{x^{1}}$

Etapa 2.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$x - 3 \sqrt[3]{x}$

Etapa 2.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O gráfico tem concavidade para cima porque a segunda derivada é positiva.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 4