Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + 3 \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))$

Etapa 1.1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

Etapa 1.1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))$

Etapa 1.1.1.2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))$

Etapa 1.1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.1.2.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1)))$

Etapa 1.1.1.2.13

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{1}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.1.2.14

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.1.2.15

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3})$

Etapa 1.1.1.2.16

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.1.2.17

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.1.2.18

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + 3 (\frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.2.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.1.2.20

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.21

Combine $- 3$ e $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.22

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.23

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.2.23.1

Fatore $3$ de $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.1.1.2.23.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.23.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.1.2.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 1.1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.1.2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x))))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 1.1.2.2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.10.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.10.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.10.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.12

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.2.14.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.14.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1 \cdot 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} (0 - 1)))) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.17

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.18

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1)) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.19

Combine $\frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot - 1}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.20

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2 {(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.21

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{- 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - (- {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.23

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - (1 {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.24

Multiplique ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - ({(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})) + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.25

Combine ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{4}{3}} \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.26

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.27

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.28

Multiplique ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.2.28.1

Mova ${(1 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 ({(1 - x)}^{\frac{4}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.28.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.28.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.28.4

Some $4$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.29

Multiplique $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Etapa 1.1.2.2.30

Some $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.2.3

Subtraia $\frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{3 {(1 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$x + 3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{1}}$

Etapa 2.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$x + 3 \sqrt[3]{1 - x}$

Etapa 2.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O gráfico tem concavidade para baixo porque a segunda derivada é negativa.

O gráfico tem concavidade para baixo

Etapa 4