Cálculo Exemplos

$y = x^{5} - 5 x$

Etapa 1

Escreva $y = x^{5} - 5 x$ como uma função.

$f (x) = x^{5} - 5 x$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 5 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $20 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 x^{3} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $20 x^{3} = 0$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $20 x^{3} = 0$ por $20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.1

Divida $0$ por $20$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 20 {(- 2)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 2) = 20 \cdot - 8$

Etapa 5.2.2

Multiplique $20$ por $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 160$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 160$ .

$- 160$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 20 {(2)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (2) = 20 \cdot 8$

Etapa 6.2.2

Multiplique $20$ por $8$ .

$f'' (2) = 160$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $160$ .

$160$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8