Cálculo Exemplos

$y = x^{4} \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} \ln (x)$ como uma função.

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.2.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4})$

Etapa 2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Etapa 2.1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.1.2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Etapa 2.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.5

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.2.6.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Etapa 2.1.2.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Some $3 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Etapa 2.1.2.3.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $7 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ por $12 x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} \ln (x) = - 7 x^{2}$ por $12 x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2} \ln (x)}{12 x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- 7 x^{2}}{12 x^{2}}$

Etapa 2.2.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 7}{12}$

Etapa 2.2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{7}{12}$

Etapa 2.2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{7}{12}}$

Etapa 2.2.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{7}{12}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7}{12}} = x$

Etapa 2.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{7}{12}}$ .

$x = e^{- \frac{7}{12}}$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.28$ na expressão.

$f'' (0.28) = 7 {(0.28)}^{2} + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $0.28$ à potência de $2$ .

$f'' (0.28) = 7 \cdot 0.0784 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $7$ por $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 {(0.28)}^{2} \ln (0.28)$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $0.28$ à potência de $2$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 12 \cdot (0.0784 \ln (0.28))$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $12$ por $0.0784$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + 0.9408 \ln (0.28)$

Etapa 5.2.1.5

Simplifique $0.9408 \ln (0.28)$ movendo $0.9408$ para dentro do logaritmo.

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln ({0.28}^{0.9408})$

Etapa 5.2.1.6

Eleve $0.28$ à potência de $0.9408$ .

$f'' (0.28) = 0.5488 + \ln (0.3019161)$

Etapa 5.2.2

Some $0.5488$ e $\ln (0.3019161)$ .

$f'' (0.28) = - 0.6488061$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.6488061$ .

$- 0.6488061$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ porque $f'' (0.28)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 7 {(3)}^{2} + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 7 \cdot 9 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$f'' (3) = 63 + 12 {(3)}^{2} \ln (3)$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 63 + 12 \cdot (9 \ln (3))$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 63 + 108 \ln (3)$

Etapa 6.2.1.5

Simplifique $108 \ln (3)$ movendo $108$ para dentro do logaritmo.

$f'' (3) = 63 + \ln (3^{108})$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $63 + \ln (3^{108})$ .

$63 + \ln (3^{108})$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{7}{12}}})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{1}{e^{\frac{7}{12}}}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8