Cálculo Exemplos

$y = x - \sin (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x - \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = x - \sin (x)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 - \cos (x)$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.1.2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.1.2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.2.5

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.2.8

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \sin (0)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f'' (0) = 0$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6