Cálculo Exemplos

$y = x {(x - 4)}^{3}$

Etapa 1

Escreva $y = x {(x - 4)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.3.6

Multiplique ${(x - 4)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Fatore ${(x - 4)}^{2}$ de $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1.1

Fatore ${(x - 4)}^{2}$ de $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Etapa 2.1.1.4.1.2

Fatore ${(x - 4)}^{2}$ de ${(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.1.3

Fatore ${(x - 4)}^{2}$ de ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $3 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.3

Reescreva ${(x - 4)}^{2}$ como $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.4

Expanda $(x - 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.5.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.5.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Etapa 2.1.1.4.6

Expanda $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.4.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.7.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.7.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.6

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.7

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.8

Multiplique $4$ por $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.4.7.9

Multiplique $16$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Etapa 2.1.1.4.8

Subtraia $32 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Etapa 2.1.1.4.9

Some $32 x$ e $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Etapa 2.1.2.4.1

Como $96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $96 x$ em relação a $x$ é $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.4.3

Multiplique $96$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.5.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Etapa 2.1.2.5.2

Some $12 x^{2} - 72 x + 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 72 x + 96$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $12$ de $12 x^{2} - 72 x + 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 72 x + 96 = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore $12$ de $- 72 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) + 96 = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore $12$ de $96$ .

$12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore $12$ de $12 x^{2} + 12 (- 6 x)$ .

$12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8 = 0$

Etapa 2.2.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (x^{2} - 6 x) + 12 \cdot 8$ .

$12 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$12 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0 + 96$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 72 \cdot 0 + 96$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72 \cdot 0 + 96$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 96$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 96$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $96$ .

$f'' (0) = 96$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $96$ .

$96$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3 + 96$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3 + 96$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3 + 96$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 108 - 216 + 96$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $216$ de $108$ .

$f'' (3) = - 108 + 96$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 108$ e $96$ .

$f'' (3) = - 12$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(2, 4)$ porque $f'' (3)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(2, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 96$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 96$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $36$ .

$f'' (6) = 432 - 72 \cdot 6 + 96$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $6$ .

$f'' (6) = 432 - 432 + 96$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $432$ de $432$ .

$f'' (6) = 0 + 96$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $96$ .

$f'' (6) = 96$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $96$ .

$96$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(2, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9