Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ , $[4, 7]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[4, 7]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = 10 \sqrt{x} + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[4, 7]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 \sqrt{x} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.10

Combine $10$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.12

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(4, 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(4, 7)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{5}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 4.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{5}{\sqrt{x}}$

Etapa 4.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.1.3

Defina o denominador em $\frac{5}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 4.1.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(4, 7)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(4, 7)$ , porque a derivada é contínua em $(4, 7)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[4, 7]$ e diferenciável em $(4, 7)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[4, 7]$ e diferenciável em $(4, 7)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[4, 7]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 10 \sqrt{4} + 6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f (4) = 10 \sqrt{4} + 6$

Etapa 7.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = 10 \sqrt{2^{2}} + 6$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 10 \cdot 2 + 6$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $10$ por $2$ .

$f (4) = 20 + 6$

Etapa 7.2.3

Some $20$ e $6$ .

$f (4) = 26$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $26$ .

$26$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[4, 7]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = 10 \sqrt{7} + 6$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f (7) = 10 \sqrt{7} + 6$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $10 \sqrt{7} + 6$ .

$10 \sqrt{7} + 6$

Etapa 9

Resolva $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{- (f (7) + f (4))}{- (7 + 4)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $26$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} + 6 - 26}{(7) - (4)}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $26$ de $6$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{(7) - (4)}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{7 - 4}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $4$ de $7$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{2}}, 3$

Etapa 9.2.2

Como $x^{\frac{1}{2}}, 3$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{\frac{1}{2}}, 3$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{\frac{1}{2}}, 3$ .

Etapa 9.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 9.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 9.2.5

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 9.2.6

O MMC de $1, 3$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 9.2.7

O MMC de $x^{\frac{1}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.2.8

O MMC de $x^{\frac{1}{2}}, 3$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$ por $3 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3}$ por $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.2

Multiplique $3 \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Combine $3$ e $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.2.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 9.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$15 = \frac{10 \sqrt{7} - 20}{3} (3 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$15 = (10 \sqrt{7} - 20) x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$15 = 10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Reescreva a equação como $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$ .

$10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$

Etapa 9.4.2

Fatore $10 x^{\frac{1}{2}}$ de $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}} - 20 x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Fatore $10 x^{\frac{1}{2}}$ de $10 \sqrt{7} x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) - 20 x^{\frac{1}{2}} = 15$

Etapa 9.4.2.2

Fatore $10 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 20 x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) + 10 x^{\frac{1}{2}} (- 2) = 15$

Etapa 9.4.2.3

Fatore $10 x^{\frac{1}{2}}$ de $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7}) + 10 x^{\frac{1}{2}} (- 2)$ .

$10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$

Etapa 9.4.3

Divida cada termo em $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$ por $10 \sqrt{7} - 20$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.1

Divida cada termo em $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2) = 15$ por $10 \sqrt{7} - 20$ .

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{10 \sqrt{7} - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.2.1

Fatore $10$ de $10 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 \sqrt{7} - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.2.2.1

Fatore $10$ de $10 \sqrt{7}$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7}) - 20} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.2.2

Fatore $10$ de $- 20$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 \sqrt{7} + 10 \cdot - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.2.3

Fatore $10$ de $10 \sqrt{7} + 10 \cdot - 2$ .

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7} - 2)} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{10 (x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2))}{10 (\sqrt{7} - 2)} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7} - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{7} - 2)}{\sqrt{7} - 2} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.2.4

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{15}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.1

Cancele o fator comum de $15$ e $10 \sqrt{7} - 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.1.1

Fatore $5$ de $15$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{10 \sqrt{7} - 20}$

Etapa 9.4.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.1.2.1

Fatore $5$ de $10 \sqrt{7}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{5 (2 \sqrt{7}) - 20}$

Etapa 9.4.3.3.1.2.2

Fatore $5$ de $- 20$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 \cdot 3}{5 (2 \sqrt{7}) + 5 \cdot - 4}$

Etapa 9.4.3.3.1.2.3

Fatore $5$ de $5 (2 \sqrt{7}) + 5 (- 4)$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 (3)}{5 (2 \sqrt{7} - 4)}$

Etapa 9.4.3.3.1.2.4

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{5 \cdot 3}{5 (2 \sqrt{7} - 4)}$

Etapa 9.4.3.3.1.2.5

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$

Etapa 9.4.3.3.2

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$ por $\frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{7} - 4} \cdot \frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$

Etapa 9.4.3.3.3

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{7} - 4}$ por $\frac{2 \sqrt{7} + 4}{2 \sqrt{7} + 4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{(2 \sqrt{7} - 4) (2 \sqrt{7} + 4)}$

Etapa 9.4.3.3.4

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{4 {\sqrt{7}}^{2} + 8 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} - 16}$

Etapa 9.4.3.3.5

Simplifique.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{12}$

Etapa 9.4.3.3.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.6.1

Fatore $3$ de $12$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{3 \cdot 4}$

Etapa 9.4.3.3.6.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{3 (2 \sqrt{7} + 4)}{3 \cdot 4}$

Etapa 9.4.3.3.6.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt{7} + 4}{4}$

Etapa 9.4.3.3.7

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{7} + 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.7.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{7}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7}) + 4}{4}$

Etapa 9.4.3.3.7.2

Fatore $2$ de $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.3.3.7.3

Fatore $2$ de $2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Etapa 9.4.3.3.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.3.3.7.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{2 (2)}$

Etapa 9.4.3.3.7.4.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (\sqrt{7} + 2)}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.4.3.3.7.4.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7} + 2}{2}$

Etapa 9.4.4

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.5

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.5.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.5.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.5.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$

Etapa 9.4.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1

Simplifique ${(\frac{\sqrt{7} + 2}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{7} + 2}{2}$ .

$x = \frac{{(\sqrt{7} + 2)}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 9.4.5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{{(\sqrt{7} + 2)}^{2}}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3

Simplifique ${(\sqrt{7} + 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1.3.1

Reescreva ${(\sqrt{7} + 2)}^{2}$ como $(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)$ .

$x = \frac{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.2

Expanda $(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} + 2) + 2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 (\sqrt{7} + 2)}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$x = \frac{\sqrt{49} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.3

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{7 + \sqrt{7} \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{7}$ .

$x = \frac{7 + 2 \cdot \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot 2}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{7 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.2

Some $7$ e $4$ .

$x = \frac{11 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7}}{4}$

Etapa 9.4.5.2.1.3.3.3

Some $2 \sqrt{7}$ e $2 \sqrt{7}$ .

$x = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{4}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \frac{11 + 4 \sqrt{7}}{4}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 4$ e $b = 7$

Etapa 11