Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 1, 8]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[- 1, 8]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Etapa 2.1.2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 1, 8]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Etapa 3.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Etapa 3.1.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Etapa 3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 3.1.7

Simplifique.

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Etapa 3.1.7.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.1.7.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(- 1, 8)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(- 1, 8)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Etapa 4.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 4.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 4.1.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 4.1.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.1.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 4.1.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 4.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 4.1.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

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Etapa 4.1.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.1.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

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Etapa 4.1.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 4.1.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 4.1.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 4.1.4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ não é contínuo em $(- 1, 8)$ , porque $0$ não está no domínio de $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

A função não é contínua.

Etapa 5

A função não é diferenciável em $(- 1, 8)$ , porque a derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ não é contínua em $(- 1, 8)$ .

A função não é diferenciável.

Etapa 6