Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + x - 1$ , $(0, 2)$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{3} + x - 1$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $3 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 1$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = {(0)}^{3} + 0 - 1$

Etapa 7.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Etapa 7.2.3

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Etapa 7.2.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = {(2)}^{3} + 2 - 1$

Etapa 8.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 + 2 - 1$

Etapa 8.2.3

Some $8$ e $2$ .

$f (2) = 10 - 1$

Etapa 8.2.4

Subtraia $1$ de $10$ .

$f (2) = 9$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $9$ .

$9$

Etapa 9

Resolva $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $3 x^{2} + 1 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(9) - (- 1)}{(2) - (0)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{9 + 1}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Some $9$ e $1$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2 + 0}$

Etapa 9.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$3 x^{2} + 1 = \frac{10}{2}$

Etapa 9.1.3

Divida $10$ por $2$ .

$3 x^{2} + 1 = 5$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 5 - 1$

Etapa 9.2.2

Subtraia $1$ de $5$ .

$3 x^{2} = 4$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Etapa 9.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 9.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 9.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.5.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.5.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 9.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 9.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 9.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 9.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 2$

Etapa 11

Existe uma reta tangente em $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 2$

Etapa 12