Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 1$ , $[5, 11]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{2} + 1$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[5, 11]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.1.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(5, 11)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(5, 11)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(5, 11)$ , porque a derivada é contínua em $(5, 11)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[5, 11]$ e diferenciável em $(5, 11)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[5, 11]$ e diferenciável em $(5, 11)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[5, 11]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = {(5)}^{2} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 25 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $25$ e $1$ .

$f (5) = 26$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $26$ .

$26$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[5, 11]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $11$ na expressão.

$f (11) = {(11)}^{2} + 1$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f (11) = 121 + 1$

Etapa 8.2.2

Some $121$ e $1$ .

$f (11) = 122$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $122$ .

$122$

Etapa 9

Resolva $2 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $2 x = \frac{- (f (11) + f (5))}{- (11 + 5)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $26$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{(11) - (5)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$2 x = \frac{122 - 26}{11 - 5}$

Etapa 9.1.3

Subtraia $26$ de $122$ .

$2 x = \frac{96}{11 - 5}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $5$ de $11$ .

$2 x = \frac{96}{6}$

Etapa 9.1.5

Divida $96$ por $6$ .

$2 x = 16$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $2 x = 16$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $2 x = 16$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{16}{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Divida $16$ por $2$ .

$x = 8$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 8$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 5$ e $b = 11$

Etapa 11