Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ , $[0, 81]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ é contínua.

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Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 81]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ .

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Etapa 2.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \geq 0}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 81]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - \frac{1}{9} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- \frac{1}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{9} x$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9} \cdot 1$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{9}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 81)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(0, 81)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9}$ .

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Etapa 4.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{1}{9}$

Etapa 4.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{9}$

Etapa 4.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4.1.3

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} = 0$

Etapa 4.1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.4.2.2.1

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.2.1.4

Simplifique.

$4 x = 0^{2}$

Etapa 4.1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x = 0$

Etapa 4.1.4.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.1.4.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 4.1.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.4.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 4.1.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notação de intervalo:

$(0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 81)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 81)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 81)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 81]$ e diferenciável em $(0, 81)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 81]$ e diferenciável em $(0, 81)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 81]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f (0) = \sqrt{0} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Etapa 7.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{0^{2}} - \frac{1}{9} \cdot 0$

Etapa 7.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 - \frac{1}{9} \cdot 0$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $- \frac{1}{9} \cdot 0$ .

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Etapa 7.2.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 (\frac{1}{9})$

Etapa 7.2.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{9}$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 7.2.3

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Resolva $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{9} = \frac{- (f (81) + f (0))}{- (81 + 0)}$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.1.1

Some $\frac{1}{9}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{(0) - (0)}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0 + 0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{(81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.4.1

Cancele o fator comum de $0$ e $(81) - (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1.1

Reescreva $81$ como $- 1 (- 81)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81) - (0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 81) - (0)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.1.3

Fatore $81$ de $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{- 1 (- 81 + 0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.1.4.1.4.1

Fatore $81$ de $- 1 (- 81 + 0)$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 (0)}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{81 \cdot 0}{81 (- 1 (- 1 + 0))} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.2

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{- 1 \cdot - 1} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{0}{1} + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.4.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0 + \frac{1}{9}$

Etapa 8.1.5

Some $0$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 9$

Etapa 8.2.2

Como $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ 1) e, depois, o da parte variável $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ .

Etapa 8.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 8.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 8.2.5

$9$ tem fatores de $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 8.2.6

O MMC de $2, 9$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 3 \cdot 3$

Etapa 8.2.7

Multiplique $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Etapa 8.2.7.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 \cdot 3$

Etapa 8.2.7.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$18$

Etapa 8.2.8

O MMC de $x^{\frac{1}{2}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.2.9

O MMC de $2 x^{\frac{1}{2}}, 9$ é a parte numérica $18$ multiplicada pela parte variável.

$18 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ por $18 x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{9}$ por $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (18 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$18 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $18$ .

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$9 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.3

Combine $9$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$9 = \frac{1}{9} (18 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1.1

Fatore $9$ de $18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 8.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$9 = \frac{1}{9} (9 (2 x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 8.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$9 = 2 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} = 9$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $2 x^{\frac{1}{2}} = 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{9}{2}$

Etapa 8.4.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2}$

Etapa 8.4.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Etapa 8.4.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Etapa 8.4.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Etapa 8.4.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Etapa 8.4.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(\frac{9}{2})}^{2}$

Etapa 8.4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.2.1

Simplifique ${(\frac{9}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$x = \frac{9^{2}}{2^{2}}$

Etapa 8.4.4.2.1.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$x = \frac{81}{2^{2}}$

Etapa 8.4.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{81}{4}$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = \frac{81}{4}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 81$

Etapa 10