Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = e^{- 2 x}$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 3.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Etapa 3.1.2.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Etapa 7.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Etapa 8.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Etapa 9

Resolva $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

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Etapa 9.1.1

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $e^{4}$ .

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ por $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Combine.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $e^{4}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva $e^{4} \cdot (1)$ como ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4

Simplifique.

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Etapa 9.1.4.4.1

Multiplique $e^{2}$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4.3

Reescreva $e^{2} \cdot 1$ como ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4.5

Simplifique.

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Etapa 9.1.4.4.5.1

Multiplique $e$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.4.4.5.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Etapa 9.1.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.5.1

Fatore $e^{4}$ de $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Etapa 9.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Etapa 9.1.5.3

Some $2$ e $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Etapa 9.1.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Etapa 9.2.3.2

Combine.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Etapa 9.2.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.3.3.1

Multiplique $1 + e^{2}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Etapa 9.2.3.3.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Etapa 9.2.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Etapa 9.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Etapa 9.4

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 9.5

Não há uma solução para $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Nenhuma solução

Etapa 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Etapa 11