Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para saber se a função é contínua em $[- 2, 2]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 6 = 0$

Etapa 2.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 6$

Etapa 2.1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Etapa 2.1.2.3.1

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Etapa 2.1.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Etapa 2.1.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Etapa 2.1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{6}$

Etapa 2.1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{6}$

Etapa 2.1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 2.1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6

Simplifique.

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Etapa 3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.1.6.3.2.2

Some $12 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(- 2, 2)$ .

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Etapa 4.1

Para saber se a função é contínua em $(- 2, 2)$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

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Etapa 4.1.1

Defina o denominador em $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Etapa 4.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Defina $x^{2} + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Etapa 4.1.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 6$

Etapa 4.1.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Etapa 4.1.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.3.1

Reescreva $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Etapa 4.1.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (6)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Etapa 4.1.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Etapa 4.1.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{6}$

Etapa 4.1.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{6}$

Etapa 4.1.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Etapa 4.1.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(- 2, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(- 2, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(- 2, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[- 2, 2]$ e diferenciável em $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 2]$ e diferenciável em $(- 2, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[- 2, 2]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Etapa 7.2.2.2

Some $4$ e $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $4$ e $10$ .

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Etapa 7.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Etapa 8

Resolva $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

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Etapa 8.1

Fatore cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Etapa 8.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Etapa 8.1.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Etapa 8.1.4

Divida $0$ por $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Etapa 8.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Etapa 8.1.6

Some $2$ e $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Etapa 8.1.7

Divida $0$ por $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.3.1

Multiplique $0$ por ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Etapa 8.4

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 8.4.1

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 8.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Etapa 8.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Etapa 9

Existe uma reta tangente em $x = 0$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 2$ e $b = 2$

Etapa 10