Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 7]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

Etapa 11.2

Avalie $2 x$ em $7$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 11.3.3.1

Fatore $2$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.3.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.5

Some $\frac{49}{2}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.6

Combine $2$ e $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.7

Multiplique $2$ por $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8

Cancele o fator comum de $98$ e $2$ .

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Etapa 11.3.8.1

Fatore $2$ de $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.8.2.4

Divida $49$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.9

Multiplique $2$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

Etapa 11.3.10

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

Etapa 11.3.11

Some $14$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

Etapa 11.3.12

Some $49$ e $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

Etapa 12.2

Some $7$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 13.1

Fatore $7$ de $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 9$

Etapa 14