Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x^{3} + 9$ , $[- 3, 3]$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = 9 x^{3} + 9$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{3} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{3}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$27 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $27 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 27 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $27 x^{2}$ .

$27 x^{2}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[- 3, 3]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} 27 x^{2} d x)$

Etapa 6

Como $27$ é constante com relação a $x$ , mova $27$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}))$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}))$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}))$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 27}{3}))$

Etapa 8.2.2.4

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

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Etapa 8.2.2.4.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}))$

Etapa 8.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}))$

Etapa 8.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}))$

Etapa 8.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 - \frac{- 9}{1}))$

Etapa 8.2.2.4.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Etapa 8.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 (9 + 9))$

Etapa 8.2.2.6

Some $9$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (27 \cdot 18)$

Etapa 8.2.2.7

Multiplique $27$ por $18$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (486)$

Etapa 9

Some $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 486$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 10.1

Fatore $6$ de $486$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (81))$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 81)$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 81$

Etapa 11